С 1975 года обучался на планерном отделении Жуковского авиационно-технического спортклуба. В 1977 году окончил Жуковскую среднюю спецшколу № 3.
В 1981 году с золотой медалью окончил Армавирское высшее лётное училище, после чего служил на лётных должностях в Гвардейском истребительном авиационном полку ВВС Московского военного округа (Кубинка). В 1987 году окончил Школу лётчиков-испытателей, в 1989-м – Московский авиационный институт.
C июня 1987 года – на лётно-испытательной работе в ОКБ имени А. И. Микояна. В 1994 году переводом перешёл на лётно-испытательную работу в Лётно-исследовательский институт (ЛИИ) имени М. М. Громова.
За период лётно-испытательной работы в ОКБ имени А. И. Микояна проводил лётные испытания опытных самолётов МиГ-29М, МиГ-29К, МиГ-31Б, МиГ-31М, МиГ-31Д. На самолётах МиГ-23, МиГ-27, МиГ-29, МиГ-31 проводил испытания по применению различных систем авиационного вооружения, опытных ракет.
С 1990 года участвовал в многочисленных показах одиночного и группового пилотажа на самолётах МиГ-29, Су-27 и Су-30 на большом количестве авиасалонов и авиашоу в России, странах СНГ, Европы, Азии, США.
Участвовал в испытаниях опытного самолёта Як-130, выполнял полёты на дозаправку в воздухе днём и ночью, сверхдальние перелёты на Су-30. Проводил инструкторскую работу в авиационных частях ВВС и ПВО на самолётах Су-27, Су-30, МиГ-29: лидирование в обеспечении международных полётов смешанных групп, дозаправка в воздухе, воздушные бои, крайние режимы с маневрированием на малых (околонулевых) скоростях, предельных углах атаки, «Колокол», «Кобра».
За время лётной работы освоил более 40 типов опытных, серийных, модернизированных летательных аппаратов, общий налёт – около 4 тысяч часов, из них большая часть – на испытаниях. Неоднократно грамотно выходил из создававшихся в полётах аварийных ситуаций, спасая опытную технику.
Награждён медалями.
Указом Президента Российской Федерации от 15 января 1998 года за мужество и героизм, проявленные при испытании новой авиационной техники, лётчику-испытателю Гарнаеву Александру Юрьевичу присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением знака особого отличия – медали «Золотая Звезда».